Algorithme Branch And Bound et application au problème TSP

Abstract

Quelque soit son domaine, l’être humain est confronté à différents problèmes dans toutes les sphères de la société. Un problème donné peut être défini par l’ensemble des propriétés que doivent vérifier ses solutions. Il peut être un problème de décision ou un problème d’optimisation. En pratique, il arrive fréquemment que dans un problème d’optimisation ,certaines variables soient astreintes à être entières ou même binaire xj = 0 ou 1, on parle alors de programme linéaire discret "à variables entiers " ("Integer Linear Programming" noté "ILP") ou programme linéaire binaire ("Binary integer program" noté "BIP"). Un des problèmes le plus étudié dans la classe des (ILP) est le problème du voyageur de commerce ("The Travelling Salesman Problem" noté "TSP") qui consiste à la recherche d’un trajet minimal permettant à un voyageur de visiter n villes séparées par distances données en passant par chaque ville exactement une fois. Il commence par une ville quelconque et termine en retournant à la ville de départ. Quel chemin faut-il choisir afin de minimiser la distance parcourue ? La notion de distance peut-être remplacée par d’autres notions comme le temps qu’il met ou l’argent qu’il dépense. En général, on cherche à minimiser le coût. En tan que problème d’optimisation, le TSP est un problème NP-difficile. En effet, dans sa version symétrique, le nombre total de solution possibles est (n − 1)!/2 , où n est le nombre de villes. Avec un telle complexité factorielle , une résolution efficace du TSP nécessite donc le recours à des méthodes d’optimisa tion très performants. Les méthodes de résolution du TSP peuvent être réparti en deux groupes de nature diffèrante : La première groupe comprend les méthodes exactes qui garantissent la complétude de la résolution : c’est le cas de la méthode séparation et évaluation ("Branch and Bound") la méthode étudiée dans notre travail. Le second groupe comprend les méthodes approchées dont le but est de trouver une solution de bonne qualité en un temps de calcul raisonnable sans garantir l’optimalité de la solution obtenue.