Résumé:
L’objectif de ce mémoire est de généraliser le théorème célèbre de Fuglede-Putnam.
Qui affirme qu’un opérateur linéaire borné qui bicommute avec deux opérateurs nor
maux, il bicommute également avec leurs adjoints. La généralisation étant étudiée sur
certaines classes des opérateurs non normaux définis sur des espaces de Hilbert sépa
rables complexes de dimension infinie.
Pour atteindre ce but, on procédera à classifier les opérateurs en question, puis
on établira le théorème de Fuglede-Putnam pour des couples d’opérateurs de classes
différentes.
L’idée du théorème de Fuglede-Putnam est due à B. Fuglede, qui a montré en pre
mier lieu, que si A est un opérateur normal dans L(H) et si AX = XA pour certain
X ∈ L(H) ; alors A∗X = XA∗, i.e tout opérateur qui commute avec un opérateur nor
mal, commute aussi avec son adjoint.
Ce résultat est en général faux si A n’est pas normal. En effet, on prend S le shift
unilatéral à poids sur l’espace `2 des suites complexes à carré sommable et X = S. De plus, si X est auto-adjoint, le résultat est trivial sans la normalité de
l’opérateur S.
Puis, C.R. Putnam a généralisé ce résultat pour le cas de deux opérateurs normaux
A et B comme suit : Pour deux opérateurs normaux A et B dans L(H) et pour un opérateur X ∈ L(H) ; l’équation AX = XB implique A∗X = XB∗, i.e tout opérateur
qui bicommute avec deux opérateurs normaux, bicommute aussi avec leurs adjoints.
Donc, le but de ce résultat est l’étude de la commutativité et la bicommutativité
dans l’espace de Banach L(H).
Nous adoptons des outils mathématiques pour atteindre cet objectif qui se résument
en la transformation d’Aluthge, et les sous-espaces invariants et la décomposition d’un
opérateur linéaire.
