Master II en Mathématique

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    Algorithme Branch And Bound et application au problème TSP
    (2016-06-02) AHMEDI EZZOURGUI, ZAHIA- KALLOUCH, SALMA
    Quelque soit son domaine, l’être humain est confronté à différents problèmes dans toutes les sphères de la société. Un problème donné peut être défini par l’ensemble des propriétés que doivent vérifier ses solutions. Il peut être un problème de décision ou un problème d’optimisation. En pratique, il arrive fréquemment que dans un problème d’optimisation ,certaines variables soient astreintes à être entières ou même binaire xj = 0 ou 1, on parle alors de programme linéaire discret "à variables entiers " ("Integer Linear Programming" noté "ILP") ou programme linéaire binaire ("Binary integer program" noté "BIP"). Un des problèmes le plus étudié dans la classe des (ILP) est le problème du voyageur de commerce ("The Travelling Salesman Problem" noté "TSP") qui consiste à la recherche d’un trajet minimal permettant à un voyageur de visiter n villes séparées par distances données en passant par chaque ville exactement une fois. Il commence par une ville quelconque et termine en retournant à la ville de départ. Quel chemin faut-il choisir afin de minimiser la distance parcourue ? La notion de distance peut-être remplacée par d’autres notions comme le temps qu’il met ou l’argent qu’il dépense. En général, on cherche à minimiser le coût. En tan que problème d’optimisation, le TSP est un problème NP-difficile. En effet, dans sa version symétrique, le nombre total de solution possibles est (n − 1)!/2 , où n est le nombre de villes. Avec un telle complexité factorielle , une résolution efficace du TSP nécessite donc le recours à des méthodes d’optimisa tion très performants. Les méthodes de résolution du TSP peuvent être réparti en deux groupes de nature diffèrante : La première groupe comprend les méthodes exactes qui garantissent la complétude de la résolution : c’est le cas de la méthode séparation et évaluation ("Branch and Bound") la méthode étudiée dans notre travail. Le second groupe comprend les méthodes approchées dont le but est de trouver une solution de bonne qualité en un temps de calcul raisonnable sans garantir l’optimalité de la solution obtenue.
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    Transformation d’Aluthge
    (NASLI BAKIR Aissa, 2016-06-05) SADAOUI, Nesrine; BENZAMIA, Sakina
    L’objectif de ce mémoire est de généraliser le théorème célèbre de Fuglede-Putnam. Qui affirme qu’un opérateur linéaire borné qui bicommute avec deux opérateurs nor maux, il bicommute également avec leurs adjoints. La généralisation étant étudiée sur certaines classes des opérateurs non normaux définis sur des espaces de Hilbert sépa rables complexes de dimension infinie. Pour atteindre ce but, on procédera à classifier les opérateurs en question, puis on établira le théorème de Fuglede-Putnam pour des couples d’opérateurs de classes différentes. L’idée du théorème de Fuglede-Putnam est due à B. Fuglede, qui a montré en pre mier lieu, que si A est un opérateur normal dans L(H) et si AX = XA pour certain X ∈ L(H) ; alors A∗X = XA∗, i.e tout opérateur qui commute avec un opérateur nor mal, commute aussi avec son adjoint. Ce résultat est en général faux si A n’est pas normal. En effet, on prend S le shift unilatéral à poids sur l’espace `2 des suites complexes à carré sommable et X = S. De plus, si X est auto-adjoint, le résultat est trivial sans la normalité de l’opérateur S. Puis, C.R. Putnam a généralisé ce résultat pour le cas de deux opérateurs normaux A et B comme suit : Pour deux opérateurs normaux A et B dans L(H) et pour un opérateur X ∈ L(H) ; l’équation AX = XB implique A∗X = XB∗, i.e tout opérateur qui bicommute avec deux opérateurs normaux, bicommute aussi avec leurs adjoints. Donc, le but de ce résultat est l’étude de la commutativité et la bicommutativité dans l’espace de Banach L(H). Nous adoptons des outils mathématiques pour atteindre cet objectif qui se résument en la transformation d’Aluthge, et les sous-espaces invariants et la décomposition d’un opérateur linéaire.